无理函数的积分

无理函数的定义

无理函数是非有理函数的代数函数,称为无理函数，例如，函数$y= \frac{\sqrt[3]{x} }{2x}+\sqrt{3-x^2} $,$f(x)=\frac{1-x}{\sqrt{1+x^2} }$ 等都是无理函数。

无理函数的积分

无理函数的积分通常采用第二类换元法消去根号，称为根代换，转换后可得有理函数积分形式。特殊情形包括形如$\int R\left(x, \sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}\right) dx$和$\int \frac{dx}{(x-a)n \sqrt{ax^2+bx+c}}$的积分，均可通过变量替换转化为有理函数积分

常见题型

1.$\int \frac{px+q}{\sqrt{ax^2+bx+c} } dx(a\ne0)$

这类题型最为普遍,基本思路为
$\int \frac{px+q}{\sqrt{ax^2+bx+c} } dx$
$=\frac{p}{2a} \int \frac{2ax+b}{\sqrt{ax^2+bx+c}}dx+\int\frac{p-\frac{pb}{2a}}{\sqrt{ax^2+bx+c} } dx$
$=\frac{p}{2a} \int \frac{d(ax^2+bx+c)}{\sqrt{ax^2+bx+c}}dx+\int\frac{p-\frac{pb}{2a}}{\sqrt{ax^2+bx+c} } dx$
$=\frac{p}{a}\sqrt{ax^2+bx+c}+\int\frac{p-\frac{pb}{2a}}{\sqrt{ax^2+bx+c} } dx$
对于$\int\frac{p-\frac{pb}{2a}}{\sqrt{ax^2+bx+c} } dx$的积分需要具体情况具体分析,不过可以肯定的是它是$\int\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} $,$\int\frac{1}{\sqrt{a^2+x^2}} $,$\int\frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}} $的复杂形式

eg:$\int \frac{2-x}{\sqrt{3+2x-x^2}}dx$
$\int \frac{2-x}{\sqrt{3+2x-x^2}}dx$
$=\int \frac{(1-x)+1}{\sqrt{3+2x-x^2}}dx$
$=\frac{1}{2}\int\frac{2-2x}{\sqrt{3+2x-x^2}}dx+\int \frac{dx}{sqrt{3+2x-x^2}}$
$=\frac{1}{2}\int\frac{d(3+2x-x^2)}{\sqrt{3+2x-x^2}}+\int \frac{d(x-1)}{\sqrt{4-(x-1)^2}}$
$=\sqrt{3+2x-x^2}+arcsin\frac{x-1}{2}+C.$

eg:$\int\frac{dx}{\sqrt{x(4-x)}}$
$\int\frac{dx}{\sqrt{x(4-x)}}$
$=\int\frac{dx}{\sqrt{4-(x-2)^2}}$
$=\frac{1}{2}\int\frac{dx}{\sqrt{1-(\frac{x-2}{2})^2}}$
$=\int\frac{d(\frac{x-2}{2})}{\sqrt{1-(\frac{x-2}{2})^2}}$
$=arcsin(\frac{x-2}{2})+C.$
$$
eg:$\int\sqrt{\frac{a+x}{a-x}}dx$
$\int\sqrt{\frac{a+x}{a-x}}dx$
$解法一:$
$\int\sqrt{\frac{a+x}{a-x}}dx=\int\frac{a+x}{\sqrt{a^2-x^2}}dx$
$=a\int\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{x}{a})^2}}d(\frac{x}{a})-\frac{1}{2}\int\frac{d(a^2-x^2)}{\sqrt{a^2-x^2}}$
$=aarcsin\frac{x}{a}-\sqrt{a^2-x^2}+C.$
$解法二:$
$令u = \sqrt{\frac{a+x}{a-x}},即x=a\frac{u^2-1}{u^2+1},则$
$\int\sqrt{\frac{a+x}{a-x}}dx=\int u·\frac{4au}{(1+u^2)^2}du$
$=\int -2aud(\frac{1}{1+u^2})$
$=-\frac{2au}{1+u^2}+\int\frac{2a}{1+u^2}du$
$=-\frac{2au}{1+u^2}+2aarctan u+C.$
$=(1-a)\sqrt{\frac{a+x}{a-x}}+2aarctan\sqrt{\frac{a+x}{a-x}}+C.$
$=-\sqrt{a^2-x^2}+2aarctan\sqrt{\frac{a+x}{a-x}}+C.$
解法二为简单无理换元

2.$\int\frac{P_m(x)}{\sqrt{ax^2+bx+c}}dx(a\ne0)$

其中$P_m(x)$为次数为$m$次的多项式,且$m$大于等于2.这种类型的题也非常常见,而且它总是可积的.